1) Бросают пять игральных костей Чему равна вероятность того

1) Бросают пять игральных костей. Чему равна вероятность того, что из пяти выпавших цифр одна — четная, а остальные — нечетные?
Решение:
Вероятность выпадения на игральной кости четных (2, 4, 6) чисел равна:
p=36=12
Вероятность выпадения на игральной кости нечетных чисел равна:
q=1-p=12
Искомая вероятность равна:
PA=C51*p*q4=5!1!*4!*12*124=532

2) В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Вычислите вероятность того, что из них на 6-м этаже:
а) не выйдет ни один;
б) выйдет один;
в) выйдут трое из них.
Решение:
Считаем, что для любого человека равновероятно выйти на любом из 8-ми этажей (со 2-го по 9-й), потому вероятность того, что человек выйдет на 6-м этаже равна:
p=18
Тогда вероятность того, что человек не выйдет на 6-м этаже равна:
q=1-p=78
Тогда искомые вероятности равны:
а) на 6-м этаже не выйдет ни один:
P=C50*p0*q5=1*1*785≈0,51
б) на 6-м этаже выйдет один:
P=C51*p1*q4=5!1!*4!*18*784≈0,37
в) на 6-м этаже выйдут три из них:
P=C53*p3*q2=5!3!*2!*183*782≈0,01

5) В интервале (1, 5) наугад выбирают пять точек. Найдите вероятность того, что из них:
а) две приходятся на интервал (1, 2) и три на интервал (3, 5);
б) две приходятся на интервал (1, 3) и три на интервал (2, 5);
в) на интервалы (1, 3) и (2, 5) приходится одинаковое количество точек;
г) на интервал (1, 2) приходится больше точек, чем на интервал (4, 5).
Решение:
а) две приходятся на интервал (1, 2) и три на интервал (3, 5):
Найдем вероятности попадания точки на соответствующие интервалы как отношение длины интервала к длине всего рассматриваемого интервала:
p(1,2)=2-15-1=14
p(3,5)=5-35-1=12
Тогда искомая вероятность равна:
P=C52*p1,22*p3,53=5!2!*3!*142*123=10128≈0,08

б) две приходятся на интервал (1, 3) и три на интервал (2, 5):
Интервалы полностью покрывают интервал (1, 5) и частично перекрывают друг друга. Потому искомое событие равнозначно следующему: две точки приходятся на интервал (1, 2) и три точки на интервал (3, 5). Найдем вероятности попадания точек на соответствующие интервалы:
p(1,2)=2-15-1=14
p(3,5)=5-35-1=12
Тогда искомая вероятность равна:
P=C52*p1,32*p3,53=5!2!*3!*142*123=10128≈0,08
в) на интервалы (1, 3) и (2, 5) приходится одинаковое количество точек:
Интервалы полностью покрывают интервал (1, 5) и частично перекрывают друг друга. Рассмотрим вероятности попадания на три интервала:
p(1,2)=2-15-1=14
p(2,3)=3-25-1=14
p(3,5)=5-35-1=12
Искомое событие равнозначно следующему событию: на интервал (2, 3) – общий для двух первоначальных, придется нечетное количество точек (1, 3, 5), а на интервалы (1,2) и (3,5) соответственно – по 2, 1, 0 точек.
Найдем вероятности этих событий:
Pна общем интервале 1 точка=С52*p1,22*С31*p2,3*p3,52
Pна общем интервале 1 точка=5!2!*3!*142*3*14*122=30256

Pна общем интервале 3 точки=С51*p1,21*С43*p2,33*p3,51
Pна общем интервале 3 точки=5*14*4*143*12=20512

Pна общем интервале 5 точек=p2,35=145=11024
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех событий:
P=30256+20512+11024=1611024≈0,16

г) на интервал (1, 2) приходится больше точек, чем на интервал (4, 5):
Найдем вероятности попадания точки на соответствующие интервалы:
p(1,2)=2-15-1=14
p(4,5)=5-45-1=14
Искомое событие разобьем на три составляющих:
– на интервал (4, 5) приходится 0 точек, а на интервал (1, 2) приходится как минимум одна:
Вычислим вероятность того, что на интервал (4, 5) приходится 0 точек, т.е. они все приходятся на интервал (1, 4):
PH1=p1,45=(1-p4,5)5=345=2431024
Вычислим вероятность того, что все точки приходятся на интервал (2, 4):
PH2=p2,45=(p1,4-p1,2)5=34-145=132
Тогда вероятность того, что на интервал (4, 5) приходится 0 точек, а на интервал (1, 2) приходится как минимум одна равна:
P1= PH1-PH2=2431024-132=2111024

– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, а на интервал (1, 2) приходится как минимум две:
Этому событию соответствует три исхода:
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, на интервал (1, 2) – две точки, на интервал (2, 4) – две точки:
PH0=С51*p4,51*С42*p1,22*p2,42=5*14*4!2!2!*142*122=30256
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, на интервал (1, 2) – три точки, на интервал (2, 4) – одна точка:
PH1=С51*p4,51*С43*p1,23*p2,41=5*14*4*143*12=20512
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, на интервал (1, 2) – четыре точки:
PH2=С51*p4,51*p1,24=5*14*144=51024
Тогда вероятность того, что на интервал (4, 5) приходится 1 точек, а на интервал (1, 2) приходится как минимум две, равна:
P2=PH0+PH1+PH2=30256+20512+51024=1651024

– на интервал (4, 5) приходится 2 точки, а на интервал (1, 2) приходится три:
P3=С52*p4,52*p1,23=5!2!*3!*142*143=101024
Тогда вероятность того, что на интервал (1, 2) приходится больше точек, чем на интервал (4, 5) равна:
P=P1+P2+P3=2111024+1651024+101024=193512≈0,38

7) Монету бросают раз — до тех пор, пока хотя бы одна из ее сторон не выпадет дважды (не обязательно подряд). Составьте ряд распределения случайной величины ; постройте график функции распределения этой величины; вычислите и .
Решение:
Вероятности выпадения одной из сторон монеты равны между собой и равны ½.
Очевидно, что случайная величина принимает только два значения: 2 (дважды подряд выпала одна из сторон монеты) и 3 (при первых двух бросаниях выпали разные стороны монеты, тогда при следующем бросании одна из сторон выпадет второй раз).
Вычислим вероятность того, что понадобилось два броска монеты для того, чтобы одна из сторон выпала дважды:
P(ξ=2)=C21*122=2*14=12
Тогда вероятность того, что монету бросали трижды, равна:
Pξ=3=1-Pξ=2=12
Получили ряд распределения:
2 3
P( ) ½ ½

Найдем математическое ожидание случайной величины :
Mξ=i=12ξi*Pξi=2*12+3*12=2,5
Найдем дисперсию случайной величины :
Dξ=i=12(ξ-Mξ)2*Pξi=(2-2,5)2*12+(3-2,5)2*12=0,25
Функция распределения имеет вид:
Fξ=0, ξ≤20.5, 2<ξ≤31, ξ>3
Для дискретной случайной величины функция распределения является кусочно-постоянной функцией, имеющей точки разрыва в точках i. При этом функция распределения непрерывна слева:

11) В лифт 12-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Сколько из них в среднем выйдет на 10-м этаже?
Решение:
Составим ряд распределения случайной функции х – количество человек, вышедших на 10 этаже.
Считаем, что для любого человека равновероятно выйти на любом из 11-ти этажей (со 2-го по 12-й), потому вероятность того, что человек выйдет на 10-м этаже равна:
p=111
Тогда вероятность того, что человек не выйдет на 10-м этаже равна:
q=1-p=1011

Величина х принимает значения от 0 до 5, а среднее количество человек, вышедших на 10-м этаже будет равно математическому ожиданию случайной величины х:
px=0=C50*p0*q5
px=1=C51*p1*q4
px=2=C52*p2*q3
px=3=C53*p3*q2
px=4=C54*p4*q1
px=5=C55*p5*q0
Mx=i=05xi*pxi
Mx=i=0ki*Cki*pi*qk-i=k*p=511
Поскольку имеем дело не с абстрактными цифрами, а с количеством людей, то можно сказать, что в среднем на 10-м этаже выйдет 5/11≈0 человек.

15) По заданной функции распределения случайной величины вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины =| |.
Fx=0, x≤-30.25, -3<x≤-10.5,-1<x≤ 31, x>3
Решение:
Вид функции распределения случайной величины говорит о том, что является дискретной случайной величиной, принимающей следующие значения с вероятностью:
ξ=-3, pξ=-3=0.25-0=0.25
ξ=-1, pξ=-1=0.5-0.25=0.25
ξ=3, pξ=3=1-0.5=0.5
Тогда случайная величина =| | принимает значения со следующими вероятностями:
η=3, pξ=-3=0.25
η=1, pξ=-1=0.25
η=3, pξ=3=0.5
Т.е. ряд распределения случайной величины :
1 3
P( ) 0,25 0,75
Найдем математическое ожидание случайной величины :
Mη=i=12ηi*Pηi=1*0,25+3*0,75=2,5
Найдем дисперсию случайной величины :
Dη=i=12(η-Mη)2*Pηi=(1-2,5)2*0,25+(3-2,5)2*0,75=0,75

isoler4 5.0

Являюсь выпускником Высшей школы экономики , по специальности Маркетинг и менеджмент. Средний балл по диплому - 4,87, работаю руководителем отдела аналитики в крупной международной компании. Увлекаюсь политикой, историей, языками.

Нанять автора