1 1 Из колоды в 36 карт сразу вытаскивают четыре Какова вероятность того

1.1.Из колоды в 36 карт сразу вытаскивают четыре. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно две дамы?

Решение

Число благоприятных исходов испытания – выбор 4 карт из 36 – равно
n=C364=36!4!32!=33*34*35*362*3*4=58905
Число благоприятных исходов состоит из выбора 2 дам из 4 возможных и выбора оставшихся 2 карт из 32
m=C322*C42=32!2!30!*4!2!*2!=31*32*3*42*2=2976
По формуле классической вероятности
рА=mn=297658905=0,051
Ответ: 0,051

2.1.В студенческом клубе функционируют три самодеятельных творческих коллектива: драматический, хоровой, хореографический. В драматическом коллективе 90 % студентов не имеют академической задолженности, в хоровом таких студентов 80 %, в хореографическом нет задолжников.
Какова вероятность того, что:
а) выбранный наугад участник самодеятельности является неуспевающим?
б) выбранный наугад участник самодеятельности является неуспевающим? Какова вероятность того, что он из хорового коллектива?

Решение

А) используем формулу полной вероятности.
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 – студент из драматического кружка;
Н2 – студент из хорового;
Н3 – студент из хореографического;
а также событие А – участник самодеятельности неуспевающий.
Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
РА=РНi*РA/Нi
Тогда:
РН1=13 РАН1=1-0,9=0,1
РН2=13 РАН2=1-0,8=0,2
РН3=13 РАН2=1-1=0
Получаем, вероятность того, что выбранный наугад участник самодеятельности является неуспевающим

РА=13*0,1+13*0,2+13*0=0.1
б) определим вероятность того, что выбранный наугад участник самодеятельности является неуспевающим и он из хорового коллектива по формуле Байеса
РНiA=РНi*РАНiРА

РН2A=13*0,20,1=0,667
Ответ: а) 0,1; б) 0,667

3.1. Как показывает практика, в среднем 5 % студентов экономических специальностей сдают экзамен по математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 50 наудачу отобранных студентов сдадут экзамен на «отлично» от 2 до 7 студентов.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Pnk1,k2=Фх⋰⋰-Фх⋰

,
где: Ф(х) – функция Лапласа,

х⋰=k1-npnpq х⋰⋰=k2-npnpq

По условию, n=50, p= 0,05, q = 1- p = 1- 0,05 = 0,95 , k1 = 2, k2 = 7.
Вычислим х` и x“:
х⋰=2-50*0.0550*0.05*0.95=-0,32 х⋰⋰=7-50*0,0550*0.05*0.95=2,92
P502,7=Ф2,92-Ф-0,32=0,49825+0,12552=0,62377

Ответ: 0,62377

4.1. Экзаменационный билет состоит из 3 вопросов. Вероятность того, что студент знает первый вопрос билета, составляет 0,7, второй – 0,85, третий – 0,6. Случайная величина X – число выученных вопросов в билете. Составьте закон распределения случайной величины X и найдите ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

X 0 1 2 3
P 0,3*0,15*0,4=0,018 0,7*0,15*0,4+
+0,3*0,85*0,4+
+0,3*0,15*0,6=0,171 0,7*0,85*0,4+
+0,3*0,85*0,6+
+0,7*0,15*0,6=0,454 0,7*0,85*0,4=0,238
Получаем закон распределения случайной величины X
X 0 1 2 3
P 0,018 0,171 0,454 0,238
Среднее квадратическое отклонение
σX=D(X)
DX- дисперсия дискретной случайной величины
DX=MX2-M(X)
MX- среднее квадратическое отклонение
MX=xipi=0*0,018+1*0,171+2*0,454+3*0,238=
=1,793
MX2=1*0,171+4*0,454+9*0,238=4,129
DX=4,129–1,7932=0,914
σX=0,914=0,956

5.1. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно , среднее квадратическое отклонение равно (табл. 1). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале .
Номер задачи
5.8. 26 3 23 27

Решение
Искомую вероятность определим поформуле
Рα≤Х≤β=Фβ-МХσ-Фα-МХσ

Р23≤Х≤27=Ф27-263-Ф23-263=Ф0,33-Ф-1=
=0,1293+0,3413=0,4706
Ответ: 0,4706

6.1. В результате случайного бесповторного 5 %-го отбора, проведенного с целью обследования жилищных условий жителей города, получены следующие данные.
Общая площадь жилищ, приходящаяся на 1 чел., м2
До 5 5 − 10 10 − 15 15 − 20 20 − 25 25 − 30 30 и более
Число жителей, чел. 8 95 204 270 210 130 83
Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,954 заключен средний размер общей площади, приходящейся на 1 человека, в целом по городу; б) вероятность того, что доля лиц, имеющих общую площадь менее 10 м2 на человека, отличается от доли таких лиц в выборке не более чем на 5 % (по абсолютной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера общей площади (см. п. «а») можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение

X f xf
(хi-x)2fi
2,5 8 20 2178
7,5 95 712,5 12563,75
12,5 204 2550 8619
17,5 270 4725 607,5
22,5 210 4725 2572,5
27,5 130 3575 9392,5
32,5 83 2697,5 15126,75
∑ 1000 19005 51060

Определим:
среднюю обую площадь жилищ по формуле средней арифметической взвешенной
x=xififi
где xi – это вариант признака (середина интервала); fi – частота признака
x=190051000=19,005 м2.
2. дисперсию
σ2=(хi-x)2fifi=510601000=51,06
3. границы, в которых с вероятностью 0,954 заключен средний размер общей площади, приходящейся на 1 человека, в целом по городу
Предельная ошибка выборки определяется по формуле
∆x=tσx2n1-nN
По условиям задачи при вероятности 0,954 из таблицы значений определим значение параметра t=2
σx2=51,06 n=1000 nN=0,05 (5% выборка)
Тогда предельная ошибка выборки
∆x=251,0610001-0,05=0,44 м2
Возможные границы, в которых будет заключен средний размер общей площади, приходящейся на 1 человека, в целом по городу
x=x±∆x=19,005±0,44 м2
4. вероятность того, что доля лиц, имеющих общую площадь менее 10 м2 на человека, отличается от доли таких лиц в выборке не более чем на 5 % (по абсолютной величине)
Предельная ошибка выборки для доли определяется по формуле
∆w=tw(1-w)n1-nN
w=8+951000=0,103 n=1000 nN=0,05 5% выборка ∆w=0,05
Тогда предельная ошибка выборки
0,05=t0,103*0,8971000*1-0,05=0,0094t
t=0,050,0094=5,32
Р=Ф5,32=0,999
5. объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера общей площади (см. п. «а») можно гарантировать с вероятностью 0,95
По условиям задачи при вероятности 0,95 из таблицы значений определим значение параметра t=1,96

n=t2σ2N∆x2N+t2σ2=1,962*51,06*10000,442*1000+1,962*51,06=503

7.1 По данным предыдущей задачи, используя -критерий Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина X (см. табл. 2) распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

Вычислим теоретические частоты
ni/=nhσφui=1000*551,06φui=699,73φui
φui- табличные значения
Составим расчетную таблицу
хi
ui=xi-хnσ
φui
ni/=699,73φui

2,5 -0,32 0,379 145,20
7,5 -0,23 0,3885 151,85
12,5 -0,13 0,3956 156,81
17,5 -0,03 0,3988 159,05
22,5 0,07 0,398 158,49
27,5 0,17 0,3932 155,13
32,5 0,26 0,3857 149,89
Сравним эмпирические и теоретические частоты

ni
ni/
(ni- ni/)2
(ni- ni/)2ni/
8 145,20 -137,20 129,6384
95 151,85 -56,85 21,28067
204 156,81 47,19 14,19903
270 159,05 110,95 77,39206
210 158,49 51,51 16,73907
130 155,13 -25,13 4,072031
83 149,89 -66,89 29,8475
1000

χ2набл=293,17

По таблице критических точек распределения χ2 по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=7-3=4 находим критическую точку правосторонней критической области
χ2крит0,05;4=9.5
Так как χ2набл> χ2крит, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Эмпирические и теоретические частоты отличаются значимо.

8.1 Найти коэффициент корреляции и определить тесноту связи между признаками X и Y на основании корреляционной таблицы (табл. 4)
Таблица 4
Y X 5 10 15 20 25 30
14 4 6
8
4
24
8 10
6
34

32

44

4 12 6

Решение
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С1=15 и С2=34
v

u nv

-2 -1 0 1 2 3
-2 4 6 – 8 – 4 22
-1 – 8 10 – 6 – 24
0 – – 32 – – – 32
1 – – 4 12 6 – 22
nu
4 14 46 20 12 4 n=100

u=nuun=-2*4-1*14+0+20+2*12+3*4100=0,34

v=nvvn=-2*22-24+0+22100=-0,46

u2=4*4+1*14+20+4*12+9*4100=1,34

v2=4*22+24+0+22100=1.34

σu=u2-u2=1.34-(0,34)2=1.107

σv=v2-v2=1.34-0.462=1.062
Найдем nuvuv из таблицы
nuvuv=8
Найдем искомый коэффициент корреляции
r=nuvuv-nuvnσuσv=8-100*(-0.46)*0.34100*1.107*1.062=0.201
Коэффициент корреляции положителен и меньше 0,3, т.е. связь между показателями слабая и прямая

cat805 4.5

У меня 2 образования. Первое среднее специальное - Менеджмент. Второе высшее - Финансы и Кредит. Написанием контрольных и курсовых работ занимаюсь 6 лет.

Нанять автора