Даны две системы векторов 1(1 0 1) 2(2 1 0) 3(4

Даны две системы векторов
1(1,0,1), 2(2,1,0), 3(4,1,2);
1(-1,3,0), 2(2,1,1), 3(1,0,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора (2,11,3) в этом базисе
с помощью формул Крамера.

Для системы векторов :

Из 2-ой строки вычем 1-ую, умноженную на -2, из 3-ей строки вычем 1-ую, умноженную на -4:

Вторая и третья строка линейно зависимы, т.е. вектор а2 и вектор а3 линейно зависимы. Следовательно, они не образуют базис.

Из 2-ой строки вычем 1-ую, умноженную на 2, из 3-ей строки вычем 1-ую:

 вычтем из 3-ей строки, умноженную на -5, 2-ую строку, умноженную на -3:

Получается ранг системы 3. И векторы линейно независимы. Они образуют базис.
Найдем координаты вектора (2,11,3) в этом базисе с помощью формул Крамера.

Составим систему уравнений:

Для отыскания значения координат , в базисе (
Так как определитель данной системы (вычисленный выше)  отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Искомые значения  находятся по формулам Крамера:

где  – определители третьего порядка, получаемые из определителя  заменой в нем элементов первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов соответственно.

Следовательно

ВМ 5.0

Выполняю работы по истории, праву, социологии, политологии, экономике, философии, психологии, менеджменту, педогогике, искусствоведению, культурологии.

Нанять автора