1 Теоретический вопрос Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

1. Теоретический вопрос.
Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительные результаты и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно.
Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование невозможно лишь на основе нелинейных уравнений регрессии. Выбор формы зависимости должен осуществляться на основании содержательного анализа исследуемого явления, а также по результатам анализа взаимосвязи переменных, входящих в модель.
Различают два класса нелинейных регрессий:
Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например:
Полиномы различных степеней –
ŷx = a+b*x+c*x2;
ŷx = a+b*x+c*x2+d*x3.
Равносторонняя гипербола –
ŷx =a + ;
Полулогарифмическая функция –
ŷx =a+b*lnx;

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например:
Степенная – ŷx =a*xb;
Показательная – ŷx =a*bx;
Экспоненциальная – ŷx =ea+b*x.
Для оценки параметров нелинейных моделей используют два подхода.
Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.
Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризирующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использовать как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам, и используют следующие методы преобразования:
Замена переменных;
Логарифмирование обеих частей уравнения;
Комбинированный.
Замена переменных – суть метода состоит в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными и сведении нелинейной регрессии к линейной. Например, парабола второй степени ŷx = a+b*x+c*x2 приводится к линейному виду с помощью замены x = x1; x2 = x2. В результате приходим к двухфакторному уравнению ŷx = a+b*x1+c*x2, оценка параметров которого при помощи метода наименьших квадратов приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим:

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.
Равносторонняя гипербола ŷx =a+ приводится к линейному уравнению простой заменой z = 1/x, система уравнений при применении метода наименьших квадратов будет следующая:

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости
ŷx =a+b*lnx; ŷx =a+b* и другие.

Логарифмирование обеих частей уравнения – регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам подразделяются на два типа:
Нелинейные модели внетренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований – логарифмированием);
Нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция – ŷx =a*xb; показательная – ŷx =a*bx; экспоненциальная – ŷx =ea+b*x; логистическая – ŷx = ; обратная ŷx = .
К внутренне нелинейным моделям можно, например отнести следующие модели: ŷx =a+b*xc, ŷx = a*(1 – .
Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция y=a*xb*, которая приводится к линейному виду логарифмированием:
ln y = ln (a*xb*);
ln y = ln a+b*ln x + ln ;
Y = A +b*X + E,
где Y = ln y, X = ln x, A = ln a, У = ln . То есть МНК мы применяем для преобразованных данных:

А затем потенцированием находим искомое уравнение.
Комбинированный метод – если в результате параметризации модели мы пришли к необходимости исследовать экспоненциальную статистическую зависимость вида y = ea+b*x, то линеаризация искомой зависимости достигается с помощью логарифмирования и замены переменных: Y = ln y; a = ln a; X = x.
Получим, Y=ln a+bX +.

2. Практическая часть.

Marishka5work 4.8

Занимаюсь написанием студенческих работ уже более 10 лет. Я преподаватель экономики и менеджмента Выполняю по многим профилям. Мои работы это наивысшее качество. Сдаю всегда ранее срока. Мои всегда работы оригинальны. Смотрите работы ниже

Нанять автора